多边形面积符号怎样反映顶点绕行方向：八组凹边界的绕行方向与面积·练习20

地图区域的边界点按不同方向走一圈，带符号面积会改变正负，但实际覆盖面积不会因此变成负数。用一个矩形挖去上边凹口的例子，可以同时核对边界公式和直观分块。

本篇使用一组可以手算或逐行复查的虚构游戏记录。先读清操作顺序与边界，再看完整过程；它不是某一款现有游戏的隐藏公式，也不要求读者安装工具。

规则与输入

坐标横向右、纵向上，八个顶点组成没有自交的凹多边形。按给定顺序将相邻点的横纵交叉乘积作差并求和，最后除二得到带符号面积；最后一点必须接回第一点。另比较倒序顶点。

八组外框上边带矩形凹口的独立边界，均包含闭合的最后一条边。

逐步计算与结果

第1组外框14×9，凹口宽7、深2，平移[8, 9]，顶点[[8, 18], [13, 18], [13, 16], [20, 16], [20, 18], [22, 18], [22, 9], [8, 9]]。逐边交叉差[-90, -26, -112, 40, -36, -198, 126, 72]，合计-224，带符号面积-112，倒序为112，实际面积112。

第2组外框9×5，凹口宽4、深4，平移[-4, 0]，顶点[[-4, 5], [-3, 5], [-3, 1], [1, 1], [1, 5], [5, 5], [5, 0], [-4, 0]]。逐边交叉差[-5, 12, -4, 4, -20, -25, 0, -20]，合计-58，带符号面积-29，倒序为29，实际面积29。

第3组外框9×9，凹口宽5、深3，平移[-3, 3]，顶点[[-3, 3], [6, 3], [6, 12], [5, 12], [5, 9], [0, 9], [0, 12], [-3, 12]]。逐边交叉差[-27, 54, 12, -15, 45, 0, 36, 27]，合计132，带符号面积66，倒序为-66，实际面积66。

第4组外框6×12，凹口宽1、深2，平移[-4, -1]，顶点[[-4, 11], [-1, 11], [-1, 9], [0, 9], [0, 11], [2, 11], [2, -1], [-4, -1]]。逐边交叉差[-33, 2, -9, 0, -22, -24, -6, -48]，合计-140，带符号面积-70，倒序为70，实际面积70。

第5组外框13×7，凹口宽8、深1，平移[1, -1]，顶点[[1, 6], [2, 6], [2, 5], [10, 5], [10, 6], [14, 6], [14, -1], [1, -1]]。逐边交叉差[-6, -2, -40, 10, -24, -98, -13, 7]，合计-166，带符号面积-83，倒序为83，实际面积83。

第6组外框12×10，凹口宽5、深9，平移[-3, -9]，顶点[[-3, 1], [0, 1], [0, -8], [5, -8], [5, 1], [9, 1], [9, -9], [-3, -9]]。逐边交叉差[-3, 0, 40, 45, -4, -90, -108, -30]，合计-150，带符号面积-75，倒序为75，实际面积75。

第7组外框7×5，凹口宽1、深1，平移[0, -6]，顶点[[0, -1], [4, -1], [4, -2], [5, -2], [5, -1], [7, -1], [7, -6], [0, -6]]。逐边交叉差[4, -4, 2, 5, 2, -35, -42, 0]，合计-68，带符号面积-34，倒序为34，实际面积34。

第8组外框13×12，凹口宽5、深1，平移[0, 4]，顶点[[0, 4], [13, 4], [13, 16], [11, 16], [11, 15], [6, 15], [6, 16], [0, 16]]。逐边交叉差[-52, 156, 32, -11, 75, 6, 96, 0]，合计302，带符号面积151，倒序为-151，实际面积151。

逐组用外框减凹口核验绝对面积，正负只随绕行方向变化，平移不增加或减少覆盖。

怎样独立复核

不使用边界求和，直接用外矩形面积减去凹口矩形面积，应该等于带符号面积绝对值。倒序只改变符号，平移全部点不改变面积；这些是本例的独立交叉检查。

很多图像坐标的纵轴向下，视觉顺逆时针的解释会反过来，应先说明坐标约定。自交边界需要额外定义填充规则，不能直接拿这里的绝对值当作任何复杂路径的覆盖面积。

练习时可以只改变一个输入，再预测哪一步会最先改变。保留中间记录，检查空状态、相等数值和刚好落在边界的情况。最终结果碰巧相同，并不能证明两个过程等价；反过来，采用不同规则得出不同结果，也不应立即视作程序故障。